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反常积分收敛性的判定

时间:2020-03-30 15:44:42 编辑:知网查重入口
摘要:知网查重本文主要介绍了 性的判定方法,在这之前通过一些例子简单的介绍了 的定义以及 积分的性质,反常积分分为两类: 无穷积分及瑕积分; 然后分别求这两类各自的判别方法,对比两类积分的判别方法有: 柯西收敛准则; 比较原则; 比较原则的极限形式; 柯西判别法; 狄利克莱判别法; 阿贝尔判别法。 在论述具体求解方法的时候结合典型的例子进行判断分析。 
反常积分无穷积分瑕积分收敛判

Summary of contentAbstractThis paper mainly introduces judge convergence of abnormal integral, before this through example simple introduced the definition and the nature of the improper integral is divided into two categories: infinite integral and integral defect ; Then, the distinguishing methods of these two categories are respectively, and then comparison between the two types of integrals is: Cauchy convergence criterion; The limit form of comparative principle; Cauchy criterion test; Dilly clay test; Abel test; When discussing the concrete solution method, it combines the typical example to carry on the judgment analysis. [key word]: improper integral infinite integral defect

反常积分收敛性的判定

一、引言

在研究反常积分时,一般都将其看成是定积分的延伸。 随着科技的发展,在实际应用和理论研究中,还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无限函数, 对它们也需要考虑定积分的问题。 近年来,一些数学工作学者对反常积分收敛性判别法做了研究并取得了许多重要的进展。 通过对反常积分的研究,能够对其概念、性质、判别法、计算有一个更为全面、清晰的认识。 而本文将会对其方法通过总结概括,以及具体实例验证其应用。

二、反常积分的定义 的 从 有界延伸到 无界的 和被积的函数有界扩展到无界函数的 。 这两类 就是我们接触的 。 (一) 的问题举例问题a.如果在垂直于地球的表面准备要发射火箭,使得无限远离地球的火箭克服地球引力,求出初始速度 有多大? 设: 地球的为,火箭的为,地表上的为, 根据万有,在距地核时运载所受的为所以其从地表升高到远离地球中心为所做的功为若有, 火箭无限地离开地球做的功就是它的极限。 因此,由,可得到初始的速度可以使得让,代入,得出问题 b.一个圆柱形的木桶的里面的部分长为, 里面的半径为,桶的里部有一个半径为的小孔,试问从盛满水开始从物理的角度得出来在不计算的情况下, 当内侧的水的高度达到为时,流水从洞中出来的速率为其中为。 设: 在小段间隔 内,木桶中的水所流失的水量为 ,它们相互应该符合 ,由此得出 , 所以水全部流出所需要的时间在表达上也可以换成“ ” : 但是在这里因为被 是 上的无 ,所以它准确的解释是 相比较以前所说的 (也可称为 )来说,例1和例2分别提出了两类积分。 (二)反常积分定义定义1: 设 的概念在 上,而且在任何有概念限制的区间 上可积。 如果 ,则说此 为 在 上的无穷限的 ,记作 ,并且称 。 类似地,可以定义 在 上的无穷积分: 对于 在 上的 ,用刚才的两种 来说明 其中 为任意的 ,当且仅当最右边的两个 全部 的情况下它才是 的。 定义2: 设的概念上,在一点的任意的右边的邻界区域上无界,但在任何里边的上有界并且是可积的,如果有就说上部分的极限为无在上的,记作并且称。 如果极限 不存在,则称反常积分 发散。 在 2中,被 在点 的附近是无 的,所以点 被叫做 的 ,而无界数 又被叫做 。 三、无穷积分的性质性质1: 若 与 都收敛, 为任意常数,则 也收敛,并且, 性质2: 如果 在任何 的 上可积 , 则 与 同 (即同时 或同时 ),而且有 ,其中最右边的第一个式子是 。 性质3: 若 在任何有限区间 上可积,且有 收敛,则 也一定收敛,并且有 。
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